反射による結像光学系:光学の基礎知識3

更新日:2021年6月30日(初回投稿)
著者:筑波大学 名誉教授 青木 貞雄

前回は、屈折利用の結像光学系について解説しました。今回は、反射鏡による結像光学系について説明します。ガラスやプラスチックは波長によって屈折率が異なるため、単レンズでは白色光に対し色収差(波長による像のボケ)が生じてしまいます。これに対し、反射鏡は色収差がないため、広い波長域の光学系に適しています。

1. 球面反射による結像

反射は色収差がないので、広い波長範囲の結像に利用できます。点光源の結像には、回転楕円面鏡や回転放物面鏡(図1)が理想的です。しかし、これらの非球面鏡は加工が難しく、一般的ではありません。

図1:回転楕円面鏡による反射、回転放物面鏡による反射

図1:回転楕円面鏡による反射、回転放物面鏡による反射

反射鏡を利用した結像では、多くの場合、非球面を球面に近似して光学系を構成します。以下では、代表的な球面鏡である凹面鏡と凸面鏡について結像公式を求めます。

・凹面鏡

凹面鏡は、凸レンズと似たような結像特性を有しています。レンズの結像公式の形式に合わせるため、次のような符号の
修正を行います。修正は凸面鏡にも適用できます。

1:反射鏡から物体、および像までの距離(aおよびb)は左側(鏡の前側)を正とする。すなわち、反射鏡の右側(鏡の後側)は負とする

2:入射光線に対して凹面鏡の半径の符号は正、凸面鏡では負とする

図2に示すような入射光線に対して、凹の鏡面(曲率半径r>0)における反射を考えてみましょう。物点(O)、像点(I)、球の中心(C)が1つの直線上(光軸:x軸)にあるものとします。反射面の入射点Bの座標h(y軸)は、x軸より上方なら正、下方なら負とします。入射光線と反射光線が光軸となす角度(鋭角)をそれぞれu、u’とし、境界面における入射角、反射角をi、およびiとします。uとu’の符号は、形式的に座標の符号を基にして決めます。

図2:凹面鏡による反射

図2:凹面鏡による反射

なお、3つの三角形△OBV、△CBV、△IBVの角度u、u’、ϕの関係式が求められます。

u+i=ϕ

ϕ+i=u’

上2式より、u+u’=2ϕ

これを座標に置き換えると、以下の結像公式が得られます。

a→∞のときbは一定の値、すなわち、焦点距離f=r/2が求まります。レンズと同様に、光軸外の物体に関しても、軸に近ければ次のような特別な光線の利用によって、像の位置が決定できます。

  • 1:光軸に平行な光線は、反射後、焦点を通る
  • 2:焦点を通った光線は、反射後、光軸に平行に進む
  • 3:球面の曲率中心を通った光線は、反射後、再び曲率中心通る
  • 4:光軸と反射面との交点に入射した光線は光軸に対して対称に反射する

これらの関係を使うと、図3の倒立実像、正立虚像のように、物体が焦点より左側にあれば倒立の実像、右側にあれば正立の虚像になることが分かります。拡大率Mは、M=b/aで表されます。

図3:凹面鏡による結像(倒立実像、正立虚像)

図3:凹面鏡による結像(倒立実像、正立虚像)

・凸面鏡

図4に示す凸面鏡の結像公式も、凹面鏡と同じ形で表されます。ただし、公式を求める際には角度の符号に注意する必要があります。

図4:凸面鏡による反射

図4:凸面鏡による反射

それぞれの角度は符号を伴い、ϕ=h/r<0、u=h/a>0、u’=h/b<0であることに注意して計算するとu+u’=2ϕとなり、以下の式が求められます。

結局、符号を考慮すれば、凹面鏡と同じ結像式が得られることが分かります。注意点としては、焦点距離fが負となることです。物体が反射面の左側にあれば、どの位置にあっても像は正立の虚像になります。

光軸外物体の作図による結果を図5に示します。正立実像では、物体の位置が凸面鏡の内側にあることに注意してください。この場合は、虚物体と見なして作図することができます。

図5:凸面鏡による結像(正立虚像、正立実像)

図5:凸面鏡による結像(正立虚像、正立実像)

虚物体の位置が焦点と鏡面の間にあるとき、図のような実像が得られます。焦点に向かって進む光線1は、反射後光軸に平行に進みます。また、光軸に平行に進んで来た光線2は、反射後焦点から来たように進みます。この光学系は反射望遠鏡に利用することができます。いずれの場合も拡大率(縮小率)MはM=b/aで表されます。

2. 反射望遠鏡

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